Να βρείτε τον Γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της παραβολής y2=4x που έχουν συντελεστή λ=12.
Λύση.
Έστω η ευθεία y=12x+β. Τότε η χορδή με συντελεστή λ=12 προκύπτει από την τομή αυτής της ευθείας με την παραβολή. Έστω A(x1,y1) και B(x2,y2) τα δύο σημεία τομής. Τότε:
y2−y1x2−x1=12.
Όμως τα Α και Β ανήκουν στην παραβολή, άρα επαληθεύουν την εξίσωσή της, δηλαδή
y21=4x1⇒x1=y214 και
y22=4x2⇒x2=y224
Αντικαθιστούμε στην προηγούμενη σχέση,
y2−y1y224−y214=12
⇒4(y2−y1)(y2−y1)(y2+y1)=12
⇒y1+y2=8.
Επομένως για το μέσον (xM,yM) των Α και Β έχουμε
yM=y1+y22=82=4.
Άρα το μέσον των Α και Β κινείται πάνω στην ευθεία
y=4. Από το σχήμα όμως παρατηρούμε ότι ο γεωμετρικός τόπος που ψάχνουμε είναι στο εσωτερικό της πραραβολής, άρα είναι η ημιευθεία
y=4 για
x>4.
